Bài tập nâng cao môn Toán Lớp 5 - Tính tổng của dãy số cách đều, không cách đều

Bài tập nâng cao: Tính tổng của dãy số cách đều, không cách đều
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Kiến thức cần nhớ về tính tổng dãy số 
I. Tính tổng của dãy số cách đều
1. Các loại dãy số cách đều
+ Khi nói đến dãy số cách đều, ta quen tâm đến: Số hạng đầu, số hạng cuối, số số hạng, đơn vị khoảng cách (hai số liên tiếp cách nhau bao nhiêu đơn vị)
+ Các loại dãy số cách đều thường gặp: dãy số tự nhiên, dãy số chẵn, dãy số lẻ, dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó.
2. Các công thức cần nhớ về dãy số cách đều
+ Tổng của dãy số = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
+ Số số hạng = (số cuối – số đầu) : đơn vị khoảng cách + 1
+ Số cuối = số đầu + (số số hạng - 1) x đơn vị khoảng cách
+ Số đầu = só cuối – (số số hạng – 1 ) x đơn vị khoảng cách
II. Tính tổng của dãy số không cách đều
+ Đối với dạng toán tính tổng của dãy số không cách đều ta không thể áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều nên ta sẽ làm theo hai cách sau:
- Cách 1: Nhóm thành các tổng, mỗi tổng có giá trị bằng 0 (cách này thường áp dụng khi trong dã số có cả dấu cộng hoặc dấu trừ đan xen nhau)
- Cách 2: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai số khác
B. Bài tập ví dụ về tính tổng dãy số
Bài 1: Tính tổng của dãy số: 1, 5, 9, 13, 17, . (có 80 số hạng)
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều, hai số liên tiếp cách nhau 4 đơn vị
Lời giải:
Số cuối của dãy số gồm 80 số là: 1 + (80 - 1) x 4 = 317
Tổng của dãy số là: (317 + 1) x 80 : 2 = 12720
Bài 2: Tỉnh tổng của dãy số 1 + 2 + 3 + + 98 + 99
Nhận xét: Đây là dãy số gồm các số tự nhiên liên tiếp cách nhau 1 đơn vị
Lời giải:
Số số hạng của dãy là: (99 - 1) : 1 + 1= 99 (số)
Tổng của dãy số là: (99 + 1) x 99 : 2 = 4950
Bài 3: Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 98 x 99 + 99 x 100
Nhận xét:
Ta thấy 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12, đây không phải là dãy số cách đều
Lời giải:
3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3
= 1 x 2 x (3 - 0) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + + 98 x 99 x (100 - 97) + 99 x 100 x (101 - 98)
= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100
= 99 x 100 x 101
Suy ra 
Bài 4: Tính tổng B = 1 x 4 + 2 x 5 + 3 x 6 + 4 x 7 + + 97 x 100
Lời giải
Nhận thấy 1 x 4 = 1 x (1 + 3) = 1 x (1 + 1 + 2) = 1 x 1 + 1 x 1 + 1 x 2 = 1 x (1 + 1) + 2 x 1
2 x 5 = 2 x (2 + 3) = 2 x (2 + 1 + 2) = 2 x 2 + 2 x 1 + 2 x 2 = 2 x (2 + 1) + 2 x 2
 .
97 x 100 = 97 x (97 + 3) = 97 x (97 + 1 + 2) = 97 x 97 + 97 x 1 + 2 x 97 = 97 x (97 + 1) + 2 x 97
Vậy B = 1 x 2 + 2 x 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + . + 97 x 98 + 97 x 2
B = 1 x 2 + 2 + 2 x 3 + 4 + + 97 x 98 + 194
B = (1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 97 x 98) + (2 + 4 + 6 + + 194)
Đặt C = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 97 x 98
Áp dụng bài 3 tính được 
Đặt D = 2 + 4 + 6 + + 194
Đây là tổng của dãy số cách đều, các số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị
Số số hạng: (194 - 2) : 2 + 1 = 97
Tổng D = (194 + 2) x 97 : 2 = 9606
Vậy B = C + D = 313698 + 9606 = 323204
Bài 5: Tính tổng C = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 99 x 99 + 100 x 100
Lời giải:
Có 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 100 x 101 
= 1 x (1 + 1) + 2 x (1 + 2) + . + 100 x (100 + 1)
= 1 x 1 + 1 + 1 x 2 + 2 x 2 + + 100 x 100 + 100
= (1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 100 x 100) + (1 + 2 + 3 + + 100)
= C + (1 + 2 + 3 + + 100)
Suy ra C = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 100 x 101 – (1 + 2 + 3 + + 100)
Đặt D = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 100 x 101
Áp dụng bài 3 tính được 
Đặt E = 1 + 2 + 3 + + 100
Đây là tổng của dãy số cách đều, các số liên tiếp cách nhau 1 đơn vị
Số số hạng: 100 số
Tổng E = (100 + 1) x 100 : 2 = 5050
Vậy C = D – E = 343400 – 5050 = 338350
C. Bài tập tự luyện về tính tổng dãy số
Bài 1: Tính tổng các số tự nhiên từ 1 tới 999
Bài 2: Tính tổng của dãy số 11, 13, 15, , 95, 97
Bài 3: Tỉnh tổng của dãy số 1, 3, 5, 7, , 99, 101
Bài 4: Tính tổng của dãy số 2, 4, 6, , 2018, 2020
Bài 5: Tỉnh tổng A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + . + 99 x 100 x 101 (gợi ý: tính 4A)
Bài 6: Tính tổng B = 1 x 4 + 2 x 5 + 3 x 6 + 4 x 7 + . + 200 x 203
Bài 7: Tính tổng C = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 144 x 144
Tải thêm tài liệu tại: