Giúp học sinh ôn tập tính nhanh giá trị biểu thức

NƠI GIAO LƯU – TRAO ĐỔI VỀ CHUYấN MễN TOÁN TIỂU HỌC
NƠI CUNG CẤP CÁC TÀI LỆU VỀ TOÁN TIỂU HỌC TỪ A ĐẾN Z
Giúp học sinh ôn tập 
tính nhanh giá trị biểu thức
 Phan Duy Nghĩa
 (P. Hiệu trưởng trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)
 Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán. Tuy nhiên, khi gặp các dạng toán loại này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh mà mình lại đi "tính chậm".
 Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau :
Dạng 1. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + + 0,19. ( 19 số hạng)
(Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000)
Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9
 = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5.
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19
 = (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15)
 = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29
 = 0,29 x 5 = 1,45.
Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95.
Dạng 2. Vận dụng tính chất của dãy số cách đều
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: 
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
Giải: Cách 1. 
 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
 S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + + 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:
 2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + + (100 + 2) + (101 + 1)
 2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + + 102 + 102 (có 101 số 102)
 2 x S = 102 x 101 = 10 302.
 S = 10 302 : 2 = 5151.
Cách 2. Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.
S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
 = (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51)
 = 101 + 101 + 101 + + 101
 Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp)
 Vậy S = 101 x 51 = 5151.
Cách 3. Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 + 102
S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + + (51 + 52)
S + 102 = 103 + 103 + 103 + + 103
S + 102 = 103 x 51 = 5253
 S = 5253 - 102 = 5151.
 Cách 4. Tách số hạng đầu tiên đứng một mình
 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
 S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + + (51 + 52)
 S = 1 + 103 + 103 + 103 + + 103
 S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151.
 Cách 5. Tách số hạng cuối cùng đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) + 101
S = 101 + 101 + 101 + + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151.
 Cách 6. Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình 
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 100 + 101 
S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + + (50 + 52) + 51
S = 102 + 102 + 102 + + 102 + 51
 = 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151.
Dạng 3. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh: 
 B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25 
Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25 
 B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)
 = 10 x 1000 x 100
 = 1 000 000.
Dạng 4. Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:
 241,324 x 1999 + 241,324 
 (Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002) 
Giải: 241,324 x 1999 + 241,324 
 = 241,324 x 1999 + 241,324 x 1
 = 241,324 x (1999 + 1)
 = 241,324 x 2000 = 482 648. 
Dạng 5. Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu
Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993
Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B.
 (Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993)
 Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427
 =1993 x (477 - 427)
 = 1993 x 50 = 99 650.
Dạng 6. Vận dụng tính chất "a x 0 = 0"
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + : 1 - 1).
 (Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
Giải: 
Ta có: 1 + : 1 - 1 = 1 + : - 1
= 1 + x - 1 = 1+ - 1 = 1 - 1 = 0.
Vậy:
 (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + : 1 - 1) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0.
Dạng 7. Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0)
Ví dụ : Tính nhanh:
( : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 - : 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008)
Giải: Ta có: : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 - : 0,1 = : - : + : - : = 1 - 1 + 1 - 1 = 0. Vậy: ( : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 - : 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008) = 0.
Dạng 8. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
A = + + + ... + 
Ta có: = 1 - ; = - ; = - ; ... ; = - .
 Vậy ta có:
A = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ... + ( - ) = 1 - + - + - + ... + - = 1 - = .
Dạng 9. Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19.
Ta nhóm lại như sau:
A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200.
Dạng 10. Đưa về dạng toán "Tìm thành phần chưa biết của phép tính 
Ví dụ : Tính nhanh:
 + + + + + 
 (Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001)
Giải: Đặt:
S = + + + + + 
Cùng nhân 2 vế với 2 ta được:
S x 2 = ( + + + + + ) x 2 = + + + + + . 
Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối. 
Vậy: S x 2 - S = - .
Từ đó ta tính được: S = .
 Chúc các em học giỏi !