Các phương pháp giải toán Tiểu học - Phương pháp ứng dụng nguyên tắc Đirichlê (Có đáp án)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
§7. Phương pháp ứng dụng nguyên tắc Đirichlê
 Ta xét chẳng hạn việc đặt các thìa vào các cốc. Nếu số thìa và số cốc bằng
nhau thì mỗi cốc có một thìa và mỗi thìa đặt vào một cốc, tức là không thừa cái
thìa nào và cũng không thừa cái cốc nào. Nếu số thìa và số cốc không bằng nhau
thì sẽ có hiện tượng : hoặc là có những cốc không ( số cốc nhiều hơn số thìa )
hoặc là có những cốc thìa thừa ra ( số thìa nhiều hơn số cốc ). Trường hợp sau
liên quan đến một tính chất gọi là nguyên tắc Đirichlê ( P.G.L Dirichlet (1805 –
1895) là tên một nhà Toán học Đức ). Nguyên tắc Đirichlê thường được phát
biểu dưới dạng “hài hước” như sau : “Không thể nhốt 7 chú thỏ vào ba cái lồng,
sao cho trong mỗi lồng không có quả 2 chú thỏ” ( nghĩa là, phải có một cái lồng
có ít nhất 3 chú thỏ ).
 Ta vận dụng nguyên tắc Đirichlê để giải bài tập, trong đó cần xác lập sự tương
ứng giữa các đối tượng của hai nhóm mà số lượng hữu hạn các đối tượng của
hai nhóm này không bằng nhau.
 Ví dụ 1. Tổ của Dương phải trực nhật suốt cả 5 ngày học trong tuần. Tổ có 11
bạn, bạn nào cũng phải làm trực nhật. Chứng tỏ rằng có một ngày ít nhất 3 bạn
trực nhật.
Phân tích. Trước hết, hãy xem xét có thể không phân công được 3 bạn trực nhật
một ngày hay không. Ta sắp xếp 11 bạn ( có vai trò như các con thỏ ) vào 5
nhóm ( như các lồng ) mỗi nhóm trực nhật mỗi ngày. Trước hết ta bố trí 5 bạn
vào 5 nhóm, còn lại 6 bạn. Sau đó lại sắp xếp tiếp 5 bạn nữa vào 5 nhóm này,
như vậy mỗi nhóm có 2 bạn và còn lại 1 bạn. Bạn cuối cùng này ta phân công
vào 1 trong 5 nhóm ấy, vì bạn nào cũng phải tham gia trực nhật. Như vậy, nhóm
có bạn cuối cùng này sẽ có 3 bạn, tức là có một nhóm ít nhất 3 bạn trực nhật .
Theo cách phân công như nói trên thì có một ngày có đúng 3 bạn trực nhật,
nhưng ở đầu bài lại đặt ra “có một ngày ít nhất 3 bạn trực nhật”. Điều đó được
giải thích như sau. Trước hết, về mặt lôgic, nhóm “có 3 bạn” mà ta nói “có ít
nhất 3 bạn” là đúng.
 Mặt khác, về ý nghĩa thực tế có thể có nhiều cách phân công trực nhật. Chẳng
hạn có thể phân công một cách không hợp lí như sau : trong 4 ngày học đầu,
phân công mỗi ngày một bạn, còn lại 7 bạn ta phân công cả vào ngày cuối cùng.
Thế thì rõ rằng trong ngày cuối cùng có ít nhất 3 bạn trực nhật. Như vậy dù có
đúng 3 bạn, hoặc có nhiều hơn 3 bạn làm trực nhật, khả năng phân công “công
bằng” nhất, như trình bày ở phần đầu, thì sẽ có ngày đúng 3 bạn trực nhật.
Giải
 Ta sắp xếp 11 bạn vào 5 nhóm, mỗi nhóm trực nhật một ngày. Vì 2 x 5 = 10 <
11 nên, theo nguyên tắc Đirichlê phả có một nhóm có ít nhất 3 bạn trực nhật
 Ví dụ 2. Trường em có 380 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 2 bạn cùng một ngày sinh.
Phân tích. Một năm thường có 365 ngày, năm nhuận có 366 ngày. Giả sử 366
bạn có ngày sinh từ ngày 1 tháng 1 đến 31 tháng 12. Số còn lại là :
380 – 366 = 14 ( học sinh )
 Số học sinh này cũng phải có ngày sinh là một ngày nào đó trong năm. Do đó,
chắc chắn có ít nhất 2 bạn cùng một ngày sinh. Ở đây ta nói ít nhất, bởi vì ta giả
sử 366 bạn có ngày sinh rải từ ngày 1-1 đến 31-12, trên thực tế có thể có 2 bạn
hoặc nhiều hơn 2 bạn có cùng một ngày sinh.
Giải
 Một năm có 365 hoặc 366 ngày. Với 380 học sinh có 380 ngày sinh, ta sắp xếp
380 ngày sinh vào các ngày trong năm. Vì 380 > 366 nên, theo nguyên tắc
Đirichlê, chắc chắn có ít nhất 2 bạn có cùng một ngày sinh.
 Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên bất kỳ, bao giờ cũng có thể tìm
được 2 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 2.
Phân tích. Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3,.. chỉ gồm có các số chẵn 0, 2, 4, và các
số lẻ 1, 3, 5, . Vì thế khi có 3 số tự nhiên bất kì thì phải hoặc là trong đó có 2
số chẵn, hoặc là 2 số lẻ. Trong trường hợp thứ nhất, hai số chẵn có tổng là một
số chẵn nên tổng này chia hết cho 2 như vậy, hai số chẵn này là hai số phải tìm.
Còn trong trường hợp thứ hai, hai số lẻ bao giờ cũng có tổng là một số chẵn nên
tổng này cũng chia hết cho 2, do đó hai số lể này là hai số phải tìm. Ở đây
nguyên tắc Đirichlê được ứng dụng ở chỗ ta có ba số tự nhiên mà chỉ có hai loại
số là số chẵn và số lẻ nên trong ba số đó bao giờ cũng có hai số hoặc cùng chẵn
hoặc cùng lẻ.
Giải
 Số tự nhiên gồm có chẵn và số lẻ, nên trong 3 số tự nhiên bất kì theo nguyên
tắc Đirichlê bao giờ cũng có hai số chẵn hoặc hai số lẻ. Tổng của hai số này luôn
luôn là số chẵn nên chia hết cho 2.
Bài tập
58. Trường Kim Đồng có 30 lớp và 1000 học sinh. Chứng minh rằng có một lớp
có ít nhất 34 học sinh.
59. Trong lớp có 40 học sinh. Hỏi có thể tìm được hay không một tháng nào đó
trong năm mà tháng đó có ít nhất 4 bạn kỉ niệm ngày sinh của mình ?
60. Tổ của Dương có 10 bạn. Trong một bài viết chính tả Dương mắc phải 4 lỗi,
còn tất cả các bạn khác mắc số lỗi ít hơn. Chứng minh rằng có ít nhất ba bạn
mắc số lỗi như nhau.
61. Bàn cờ quốc tế gồm có 8 x 8 = 64 ô vuông bằng nhau. Ném vào bàn cờ 100
viên bi thì chỉ có 35 viên bi lăn ra ngoài bàn cờ. Chứng minh rằng có một ô
trong bàn cờ chứa ít nhất 2 viên bi, ( kể cả trường hợp viên bi nằm ở trên cạnh ô
vuông )
62. Cho ba số tự nhiên bất kì, trong đó không có số nào chia hết cho 3. Chứng
minh rằng bao giờ cũng có hai số mà khi chia cho 3 cho cùng một số dư.
63. Một người mua cho cơ quan 25 bao thuốc lá gồm ba loại : Điện biên, Sông
cầu và Du lịch. Hỏi trong số đó có thể có 9 bao thuốc lá cùng loại hay không ?