Các phương pháp giải toán Tiểu học - Phương pháp suy luận logic (Có đáp án)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
 §6. Phương pháp suy luận lôgic
 Loại toán này đa dạng về đề tài đòi hỏi học sinh phải biết suy luận đúng 
đắn,hặt chẽ, trên cơ sở vận dụng những kiến thức cơ bản và kinh nghiệm 
sống phong phú của mình. Vì vậy, cần phải luyện tập óc quan sát, cách lập luận,
cách xem xét các khả năng có thể xảy ra của một sự kiện và vận dụng những
kiến thức đã học vào các tình huống muôn hình muôn vẻ trong cuộc sống hàng
ngày. Đôi khi để giải những bài toán loại này, chỉ cần những kiến thức toán học
đơn giản, nhưng lại đòi hỏi, khả năng chọn lọc trường hợp, suy luận chặt chẽ, rõ
ràng.
 Ví dụ 1. Trong một buổi học nữ công, ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông
hoa cúc, đào, hồng. Bạn làm hoa hồng nói với Cúc : “Thế là trong chúng ta
chẳng có ai làm loại hoa trùng với tên mình cả !”. Hỏi ai đã làm hoa nào ? ( xem
cách giải khác ở phương pháp ứng dụng Gráp )
Phân tích. Bài toán này có thể giải bằng cách lập bằng ( gọi là bảng chân lí )
hàng trên cùng, ghi tên các bông hoa, còn cột bên trái ghi tên ba bạn ( hình 18a )
cúc
đào
hồng
Cúc
Đào
Hồng
 Hình 18a
Giả thiết đầu tiên của bài toán chứng tỏ bạn Cúc không làm hoa hồng, nên ô Cúc
– hồng ta ghi chú “không” ( đôi khi người ta ghi chú “sai” hoặc dấu “-”). Giả
thiết thứ hai của đề toán chứng tỏ ban đầu, tên mỗi bạn không trùng với tên hoa
mà mình làm, nên ta ghi chú “không” vào ba ô Cúc – cúc, Đào – đào, Hồng –
hồng ( hình 18b )
cúc
đào
hồng
Cúc
không
không
Đào
không
Hồng
không
 Hình 18b
Nhìn vào bảng này, để ý ở hàng thứ hai, đã có hai ô trống nên ô còn lại Cúc –
đào phải được ghi là “có” ( đôi khi người ta ghi chú “đúng” hoặc dấu “+” ). Còn
ở cột bên phải, đã có hai ô “không”, nên ô còn lại Đào – hồng phải được ghi
“có”. Từ đó suy ra ô Hồng – cúc phải được ghi “có”
Giải
 Theo giả thiết thì Cúc không làm hoa hồng ( hình 18b ) và Cúc cũng không
làm hoa cúc. Vậy Cúc làm hoa đào. Mặt khác, hoa hồng không phải do Cúc làm
và không phải do Hồng làm, vì vậy phải do Đào làm. Cuối cùng Hồng làm hoa
cúc.
Có thể trình bày lời giải theo bảng 18c
cúc
đào
hồng
Cúc
không
có
không
Đào
không
có
Hồng
có
không
 Hình 18c
 Ví dụ 2. Trong một ngôi đền có ba vị thần ngồi cạnh nhau : thần Thật thà (
luôn luôn nói thật ), thần Dối trá ( luôn luôn nói dối ), thần Không ngoan ( lúc
nói thật, lúc nói dối ). Một nhà toán học hỏi thần ngồi bên trái : - Ai ngồi cạnh
ngài ?
-Thần Thật thà
Nhà toán học hỏi thần ngồi giữa :
-Ngài là ai ?
-Là thần Khôn ngoan
Nhà toán học hỏi thần ngồi bên phải :
-Ai ngồi cạnh ngài ?
-Đây là thần Dối trá
Hãy xác định tên các vị thần
Phân tích.
 Giả sử ba vị thần ngồi theo thứ tự A, B, C. Ba câu hỏi của nhà toán học đều
nhằm vào một vấn đề là : “B là ai ?” và được ba câu trả lời khác nhau của ba vị thần như sau :
A trả lời : B là thần Thật thà
B trả lời : B là thần Khôn ngoan
C trả lời : B là thần Dối trá
 Ta phải dựa vào ba câu trả lời này và giả thiết của bài toán để suy luận. Từ đề
bài ta hiểu rằng mỗi vị thần có một tên khác nhau. Trước hết ta hãy thử đi tìm
thần Thật thà. Giả sử A là thần Thật thà, tức là A luôn nói đúng, thế thì câu trả
lời của A là đúng, vậy B cũng là thần Thật thà. Như vậy có những hai thần Thật
thà, trái với giả thiết. Bây giờ, giả sử B là thần Thật thà, tức là B luôn nói thật,
nhưng B lại trả lời mình là thần Khôn ngoan. Như vậy B có những hai tên gọi,
điều đó trái với giả thiết. Cuối cùng chỉ có C là thần Thật thà, C luôn nói đúng,
do đó theo câu trả lời đúng của C thì B là thần Dối trá, suy ra A là thần Không
ngoan.
 Ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách đi theo những con đường khác.
Chẳng hạn, ta bắt đầu đi tìm thần Dối trá hoặc thần Không ngoan, và cũng di
đến kết quả như trên.
Giải
 Dựa vào câu trả lời của mỗi vị thần thì vị thần ngồi bên trái không phải vị thần
Thật thà,vì nếu là thần Thật thà thì theo câu trả lời của vị thần này, vị thần ở
giữa cũng là thần Thật thà ; đồng thời vị thần ở giữa cũng không phải thần Thật
thà, vì nếu là thần Thật thà thì sao lại trả lời mình là thần Khôn ngoan được. Vậy
chỉ có thể vị thần ngồi ở bên phải là thần Thật thà mà thôi, suy ra vị thần ngồi
giữa là thần Dối trá. Còn lại vị thần bên trái là thần Khôn ngoan.
 Ví dụ 3. Ngày xưa, ở một nước nọ, có một ông vua gian ác áp bức nhân dân
rất dã man. Nhiều người chịu không nổi phải bỏ ra nước ngoài. Để ngăn chặn
tình trạng này, ở trạm gác biên giới, đặt ra một cái lệ: “Ai muốn ra khỏi nước thì
phải nói một câu. Nếu câu ấy đúng thì người ấy sẽ bị chặt đầu. Còn nếu câu ấy
sai thì người ấy sẽ bị treo cổ. Còn nếu nói câu gì để không bị chặt đầu và cũng
không bị treo cổ thì được ra khỏi nước”. Tên vua hí hửng tưởng tượng rằng theo
lệ này thì sẽ giết chết tất cả những ai bỏ ra nước ngoài. Nhưng không ngờ, có
một nhà toán học đã đến trạm gác nói một câu và được đi mà không bị chặt đầu
cũng không bị treo cổ. Hãy xem xét câu nói ấy là câu gì ?
Phân tích. Lệ của tên vua đặt ra là: nếu câu nó đúng thì bị chặt đầu, nếu câu nói
sai thì bị treo cổ và tên vua cho rằng một câu nói chỉ có thể đúng hoặc sai, như
thế đằng nào cũng bị giết chết. Nhưng, tên vua không hiểu rằng có hai cách giết
chặt đầu và treo cổ. Mà bị chặt đầu hay treo cổ là tùy thuộc vào câu nói đúng
hay sai. Vì thế, nhà toán học sẽ nói một câu sao cho nếu đem chặt đầu thì câu
nói sẽ là sai, nhưng nếu đem treo cổ thì câu nói lại trở thành đúng. Như vậy, câu
nói của nhà toán học là : “Tôi bị treo cổ”. Nếu đem nhà toán học đi treo cổ, tức à
nhà toán học nói đúng, mà nói đúng thì phải chặt đầu chứ không phải treo cổ.
Còn nếu nhà toán học bị chặt đầu, thì câu nói ấy là sai, mà nói sai theo tỉ lệ của
tên vua, thì phải treo cổ chứ không phải là chặt đầu. Thế là, với câu nói trên, nhà
toán học không bị chặt đầu cũng không bị treo cổ theo đúng lệ của tên vua đặt ra
Giải
Câu nói của nhà toán học là : “Tôi bị treo cổ”. Nếu treo cổ nhà toán học thì câu
nói này đúng thì, theo lệ vua, sẽ bị chặt đầu chứ không phải treo cổ. Nếu chặt
đầu nhà toán học thì câu nói này là sai, mà nói sai thì bị treo cổ chứ không phải
chặt đầu Như vậy, với câu nói trên thì nhà toán học không bị chặt đầu cũng
không bị treo cổ.
Bài tập
52.Trong một buổi sinh hoạt của Nhóm yêu Toán, ba bạnThái , Thúy, Bình được 
phân công đóng ba vai : vai đội mũ đỏ luôn luôn nói thật, vai đội mũ xanh luôn
luôn nói dối, vai độimũ vàng thì hay nói đùa tức là khi nói thật, khi nói dối. Bạn
Hoài không biết ai đóng vai gì liền đến hỏi từng bạn rằng : “Bạn Thúy đội mũ gì
?” và nhận được ba câu trả lời sau.
Thái trả lời : “Thúy đội mũ đỏ”
Bình trả lời : “Thúy đội mũ xanh đấy”
Thúy trả lời : “Tôi đội mũ vàng cơ”
Hỏi bạn Hoài đã suy luận như thế nào để biết được ai đội mũ gì ?
53.Ngày xưa, có lần 3 người thông minh bị một bọn cướp bắt. Tên tướng cướp,
muốn thử trí thông minh của 3 người, bèn đưa họ vào một hang tối, nói cho họ
biết rằng trong hang có 2 mũ xanh và 3 mũ đỏ và cho mỗi người chọn trong
bóng tối lấy cho mình một cái mũ đội lên đầu. Sau đó, tên tướng cướp cho đưa
ba người ra ngoài ánh sáng và bảo họ : “Bây giờ, cho phép các anh tha hồ nhìn
nhau, nhưng không được hỏi nhau. Nếu một người trong các anh nói đúng là
mình đội mũ gì, xanh hay đỏ, thì tất cả 3 người đều được tha !”. Người thứ nhất
nhìn hai bạn rối lắc đầu. Người thứ hai nhìn người thứ ba rồi cũng lắc đầu.
Người thứ ba liền nói rằng mình đội mũ đỏ và cả 3 người đều được tha.
 Hãy giải thích xem những người thông minh đó đã suy nghĩ thế nào
54. Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ của tỉnh, bốn bạn Phương, Dương, Hiếu,
Nhung có quê mỗi người ở một nơi khác nhau. Trả lời câu hỏi : “Bạn quê ở
đâu?” ta nhận được các câu trả lời sau.
Phương: “Dương quê ở Thường Tín, còn tôi ở Ứng Hòa”
Dương: “Quê tôi cũng ở Ứng Hòa, còn quê Hiếu ở Thường Tín”
Hiếu: “Không, tôi ở Hà Đông, còn Nhung ở Mĩ Đức”
 Cuối cùng Nhung nói: “Tuy các bạn đều nghịch, nhưng trong mỗi câu trả lời
của ba bạn trên đây đều có phần đúng và một phần sai”.
Hãy xác định quê của mỗi bạn.
55. Ở một xã kia có hai làng : làng Thực và làng Trạng. Người dân làng Thực
bao giờ cũng “nói thật” ; khi hỏi họ thì nếu câu trả lời là “có”, người dân làng
Thực sẽ gật đầu, còn nếu câu trả lời là “không” thì người làng này sẽ lắc đầu.
Còn dân làng Trạng bao giờ cũng “nói đùa” ; khi hỏi họ thì, nếu câu trả lời là
“có”, người làng Trạng lại lắc đầu, còn nếu câu trả lời là “không” thì họ sẽ gật
đầu. Một nhà Toán học đi vào một trong hai làng, nhưng không rõ làng nào. Để
biết mình đang ở đâu nhà Toán học liền hỏi một người mà cũng không rõ người
này ở làng Thực hay làng Trạng, vì dân hai làng này vẫn thường qua lại với
nhau. Nhà Toán học hỏi: “Bác có phải là người làng này không ạ ?”. Hãy xem
xét nhà Toán học biết mình đang ở làng nào nếu :
a)Người được hỏi gật đầu ?
b)Người được hỏi lắc đầu ?
Xét trường hợp khi nhà Toán học sẽ hỏi: “Bác có phải là người làng khác đến
làng này chơi không ạ ?”
56. Ngày xưa, có một tên chúa đảo rất tàn ác. Nếu có người lạ lạc vào đảo thì sẽ
bị tên chúa đảo này giết. Trước khi giết, tên chúa đảo bắt người đó nói một câu.
Nếu câu đó đúng, tên chúa đảo sẽ cho giết ở dưới chân tượng thần Thật thà. Nếu
câu đó sai, tên chúa đảo sẽ cho giết ở dưới chân tượng thần Dối trá. Một hôm, có
một nhà Toán học lạc vào đảo. Tên chúa đảo ra lệnh bắt nhà Toán học đó và giải
thích cho nhà Toán học biết rằng ông phả giết theo luật lệ của chúa đảo, đồng
thời cũng ra lệnh cho nhà oán học phải nói một câu. Nhà Toán học ung dung
nói: “Tôi sẽ bị giết dưới chân tượng thần Dối trá”.
 Hãy xem xét tính mạng nhà Toán học ra sao theo quy định của chúa đảo.
57. (Dựa theo chuyện cổ Ấn Độ). Một công chúa đang kén chồng ra một điều
kiện là nếu trong thời hạn ba ngày ai nêu ra một câu hỏi mà công chúa không trả
lời được thì công chúa sẽ nhận người đó làm chồng. Nhiều chàng trai đến thử tài
và đều chịu thua trước sự hiểu biết uyên bác của công chúa.
 Một lần, một nhà Toán học trẻ tuổi đến xin thử tài. Chàng đặt câu hỏi cho
công chúa :
-Xin công chúa hãy cho biết tôi phả hỏi câu gì để công chúa không trả lời được ?
 Hãy xét xem, với câu hỏi này nhà Toán học trẻ tuổi có được kết duyên cùng
công chúa hay không.