Chuyên đề môn Toán Lớp 4 - Các dạng bài toán tính nhanh phân số môn

CHUYÊN ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN TÍNH NHANH PHÂN SỐ:
Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
VD: + + + + 
Cách 1: Bước 1: đặt A = + + + + 
 Bước 2: Ta thấy
	 = 1 - 
 = - 
 = - 
 Bước 3: Vậy A = + + + + 
 A = 1 - + + 
 A = 1 - 
 A = 
 Đáp số: 
Cách 2: 
Bước 1 đặt A = + + + + 
Bước 2: Ta thấy.
 = 1 - 
 = 
 + = 
 ..
Bước 3: Vậy A = + + + + 
= 1 - = 
Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần ( n>1).
Ví dụ: A = + + + + 
Cách giải: Bước 1: Tính A x n ( n = 2).
Ta có: A x 2 = 2 x 
= 
= 1 + + + + 
Bước 2: Tính A x n – A = A x ( n - 1)
A x 2 – A = - 
A x ( 2 - 1) – A = 1 + + + + - - - - - 
A = 1 - 
A = 
Ví dụ: B = 
Bước 1: Tính B x n ( n = 3)
B x 3 = 3 x 
= 
Bước 2: Tính B x n – B
B x 3 – B = - 
B x (3 - 1) = B x 2 = 
B x 2 = 
B x 2 = 
B = 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh
 	a - 
b - + + + + + 
c - 
d - 1+ 
d - 
c - 3+ 
f - 
8 - 
Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số liền sau:
Ví dụ 1:	 A = 
A = 
= 
= 
= 
Ví dụ 2: 
B = 
B = 
B = 
= 
=
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh
a - 
b - 
c - 
d - 
e - + + 
g - 
Bài 2: Cho tổng 
S= 
a, Tìm số hạng cuối cùng của S ?
b, Tổng S có bao nhiêu số hạng ?
Bài 3: Tính nhanh
a, 
b, Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:
Bài 4: Tính nhanh:
Bài 5: So sánh S với 2, biết rằng.
S= 
Bài 6: Chứng minh rằng:
Bài 7: Điền dấu hoặc = vào ô trống
 1
Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ: Tính
A = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh
a, 
b, 
c, 
d, 
Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số nàu có quan hệ với tỉ số với mẫu số của phân số kia.
Ví dụ: 
= x x
= x
= 
= 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh
a, 
b, 
Bài 2: Tính nhanh
a, 
b, 
Bài 3: Tính nhanh
a, 
b, 
c, 
Bài 4: Cho
M = 
N = 
Hãy tính M x N ?
Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
Dạng 6: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu số và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: 
= 
= 
= 1 ( Vì tử số bằng mẫu số )
Ví dụ 2: 
= 
= 
= = 1 ( Vì tử số bằng mẫu số )
Ví dụ 3: 
= 
=
= 
= 1x
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính nhanh
a, d, 
b, đ, 
c, 
Bài 2: Tính nhanh
a, e, 
b, g, 
c, h, 
d, đ, 
Bài 3: Tính nhanh
a, 
b, 
c, 
Bài 4: Tính nhanh
a, 
b, 
c, 
d, 
Bài 5: Tính nhanh
a, 
b, 
c, 
d, 
đ, 
e, 
Bài 6: Tính nhanh
a, 
b, 
Bài 7: Tính nhanh
Bài 8: Tính nhanh
10101 x 
* Một số bài toán tính nhanh phân số
Bài 1: Tính nhanh
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liền trước nên ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
= 2 – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Cách 2:
S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Bài 2: Tính nhanh
S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo cách 2 như bài 1:
S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S = 6560/2187 : 2 = 6560/4374
Bài 3: Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét:
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
......................................................................................................................
8192 = (1 + 2 + 4 + ............... + 4096) + 1
Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
 * Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
Bài 4: Tính nhanh
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân tích như sau:
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
= 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014
= 1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 5: Tính nhanh
A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + ................. + 1/ 2013 x 2015
Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp. Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm như sau:
A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + ................. + 2/ 2013 x 2015
 = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + .................. + 1/2013 – 1/2015
 = 1 – 1/2015 = 2014/2015
Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
Bài 6: Tính nhanh.
1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 1/2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
Phân tích: Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ bản. Ta có thể làm như sau:
MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
= 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + ................ + 2 x (9 x 10)/2
2 x3 + 3 x 4 + ...................... + 9 x 10
Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + ............... + 1/9x10
= 1/2 – 1/10 = 2/5
 * Kết luận: Với bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n đơn vị) ta phân tích như sau:
n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c
Bài 7: Tính nhanh
M = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + .................... + 201 x 202
Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
M x 3 = 1 x 2 x (3 - 0) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + .................... + 201 x 202 x (203 – 200) = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + ..................... + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202
= 201 x 202x 203 = 8242206
Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
Bài 8: Tính nhanh
N = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .................... + 100 x 101 x 102
Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy ta có thểphân tích như sau:
N x 4 = 1 x 2 x 3 x (4 - 0)+ 2 x 3 x 4 x (5 - 1)+ 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + .................... + 100 x 101 x 102 x (103 – 99) = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 - 2 x 3 x 4 x 5 + ................. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600
Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
Bài 9: Tính nhanh
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350
 * Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể làm như sau:
- Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn nhất trong tích).
- Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
.....................................................................................................................
VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ................ ta làm như sau:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .............. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1)+ 3 x 4 x (5 - 2)
Bài 10: Tính nhanh.
Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + ................ + 2/2011 + 1/2012
Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ........................ + 1/2012 + 1/2013
(Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
Phân tích: Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1 + .......... + 1) + 2011/2 + ................ + 2/2011 + 1/2012
 (2012 chữ số 1)
= (1 + 2011/2) + ...........+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1 
= 2013/2 + .......... + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
= 2013 x ( 1/2 + .......... + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
TS/MS = 2013
Bài 11: Tính nhanh.
TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .............. + (1 + 2 + 3 + .......... + 2014)
MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Phân tích: Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 ............. Vì vậy ta có thể giải như sau:
TS = (1 + 1 + .... + 1) + (2 + 2 + ....... + 2) + ....... + (2013 + 2013) + 2014
 (2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2)
= 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Vậy TS/MS = 1
Bài 12: Tính nhanh.
TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
MS = 1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100
Phân tích: Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có thể làm như sau:
MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 ....... 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
Vậy TS/MS = 1
Bài 13: Tính nhanh.
TS = 1 + 1/3 + 1/5 + .............+ 1/97 + 1/99
MS = 1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51
Phân tích: Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + ........................ + (1/49 + 1/51)
= 100/ 1x99 + 100/3x97 + .......................... + 100/49X51
= 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51)
Vậy TS/MS = 100
Bài 14: Tính nhanh.
TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + .............+ 1/99 + 1/100
MS = 1/99 + 2/98 + .......... + 99/1
Phân tích: Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + ............+ (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1
= 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + ..................... + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/100
= 100 x (1/99 + 1/98 + ........................ + 1/2 + 1/100)
= 100 x (1/2 + 1/3 + ........................ + 1/99 + 1/100)
Vậy TS/MS = 1/100
Bài 15: 
	a - 
	b - 
Bài 16: Tính nhanh
Bài 3: Tính nhanh
a, 
b, 
c, ( 30 : 7
d, 
c, (1999 x1998 + 1998 x 1997 ) x ( 1 +