Các phương pháp giải toán Tiểu học - Phương pháp ứng dụng Graph (Có đáp án)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TIỂU HỌC
PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG GRAPH
 Khái niệm Graph được sử dụng không những trong toán học mà cả trong kĩ thuật và trong cuộc sống dưới những tên gọi khác nhau như lược đồ, biểu đồ 
Trong một số bài toán có để cập đến các đối tượng hoặc các loại đối tượng khác nhau mà giữa chúng có những mối quan hệ nào đấy. Trên hình vẽ, ta biểu diễn các đối tượng bằng các điểm và mối quan hệ giữ chúng bằng các đoạn thẳng hoặc các mũi tên. Hình biểu diễn như vậy gọi là Graph. Các điểm gọi là những đỉnh, các đoạn thẳng hoặc mũi tên gọi là cạnh của Graph. Các Graph có thể diễn tả trực quan các đối tượng và các quan hệ giữa chúng, tạo ra khả năng theo dõi được nhiều sự kiện có trong điều kiện của bài toán và xây dựng được mối quan hệ giữa chúng. Vì thế Graph được ứng dụng có hiệu quả để giải các bài toán suy luận. 
Ví dụ 1: 
Trong cuộc thi đấu bóng bàn ngày hội khỏe Phù Đổng các đấu thủ đến dự đều bắt tay nhau. Người ta đếm được tất cả 10 cái bắt tay. Hỏi có mấy đấu thủ dự thi?
Phân tích: 
Ta đánh dấu hai điểm A, B và nối chúng với nhau bằng 1 đoạn thẳng. Mỗi điểm “Đại diện” cho một đấu thủ, còn mỗi đoạn thẳng kí hiệu cho một cáu bắt tay, cũng như có hai điểm thì có 1 đoạn thẳng nối chúng với nhau.
Ta vẽ thêm điểm C và nối chúng với A, B thì ta được tất cả 3 đoạn thẳng (hình 11). Lấy thêm điểm D và nối chúng với A, B, C thì ta được tất cả 6 đoạn thẳng . Cuối cùng ta đánh dấu thêm điểm thứ năm E và nối E với A, B, C, D thì được tổng cộng 10 đoạn thẳng (hình 12).
Ta nhận thấy rằng, với 2 điểm thì có 1 đoạn thẳng. Thêm một điểm thứ ba thì có thêm 2 đoạn nữ nối với 2 điểm tức là 1 + 2 đoạn thẳng. Thêm điểm thứ tư thì cso thêm ba đạo thẳng nữa nối với 3 điểm đã cho, tức là 1 + 2 + 3 đoạn thẳng. Nếu thêm điểm thứ năm thì có thêm 4 đoạn thẳng nối với 4 điểm đã cho, tức là có 
1 + 2 + 3 + 4 đoạn thẳng. Từ đó có thể suy ra cách xác định số đoạn thẳng khi biết số điểm cho trước hoặc ngược lại, tính số đoạn thẳng (như bài toán 1 trên là một ví dụ cụ thể).
Giải
Ta đánh dấu trên hình vẽ mỗi đấu thủ là một điểm và mỗi cái bắt tay giữ các cầu thủ là một đoạn thẳng nối hai điểm. Với 2 điểm kẻ được một đoạn thẳng, với 3 điểm kẻ được 3 đoạn thẳng, với 4 điểm kẻ được 6 đoạn thẳng. Với 5 điểm kẻ được 10 đoạn thẳng.
Vậy có 5 đối thủ dự thi.
Ví dụ 2: 
 Trong một buổi học nữ công, bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng. Bạn làm hoa hồng nói với Cúc: “Thế là trong chúng ta chẳng có ai làm loại hoa trùng tên mình cả!” Hỏi ai đã làm hoa nào?
Phân tích:
Bài toán này đã được giải bằng phương pháp suy luận logic. Ở đây ta trình bày cách giải bằng phương pháp ứng dụng Graph.
Ở bài toán này, ta có hai nhóm đối tượng: một là tên các bạn, hai là tên các bông hoa. Ta phải tìm sự tương ứng giữa các nhóm đối tượng cuat hai nhóm đối tượng của hai nhóm này để xem bạn nào đã làm hoa gì. Muốn vậy, ta xây dựng graph như sau:
Nhóm thứ nhất, ta vẽ ba chấm C, Đ, H để kí hiệu ba bạn Cúc, Đào, Hồng. Còn nhóm thứ hai ta sẽ vẽ ba chấm c, đ, h thay cho ba bông cúc , đào, hồng mà các bạn đã làm. Ta sẽ nối hai dấu chấm của hai nhóm này với nhau bằng nét đứt nếu giữa chúng không có sự tương ứng còn nếu giữa chúng có sự tương ứng bằng những nét liền.
Từ giả thiết đầu tiên của bài toán là “bạn làm hao hồng nói với bạn Cúc” suy ra bạn Cúc không làm hoa hồng, ta nối C-h bằng nét đứt (hình 13). Mặt khác , từ câu nói với Cúc ở đề bài, ta nhận thấy rằng, lúc đầu, tên hoa không trùng với tên người, do đó ta lại nối C – c, Đ – đ, H – h bằng nét đứt (hình 14). 
Đây là giả thiết đã cho của bài toán. Nhìn trên hình 14, ta thấy ngay rằng C-c, C-h nối bẳng nét đứt thì C-đ phải bằng nét liền, đồng thời h-C, h-H nối bằng nét đứt thì h – Đ phải bằng nét liền (hình 15).
Từ đó có kết quả là C- đ, Đ-h, H-c hay Cúc làm hoa đào, Đào làm hoa hồng, còn Hồng làm hoa cúc.
Ngoài cách trình bày như bài 6 còn có thể trình bày lời giải theo hình 16. Trong một số bài toán, việc diễn tả các điều kiện của bài toán bằng graph có thể giúp việc tìm các bước giải được nhanh chóng.
Chẳng hạn ta xét bài toán sau:
Ví dụ 3:
Kiên nghĩ ra một số. Nếu đem số đó cộng với 12 rồi tăng tổng tìm được lên 7 lần, sau đó bớt ở tích này đi 136, cuối cùng đem chia cho 8 được kết quả là 11. Hãy tìm số mà Kiên đã nghĩ ra.
Phân tích: 
Trước hết, ta vẽ Graph theo điều kiện của bài toán như hình 17.
Từ mối liên hệ giữa phép cộng và phép trừ, phép nhân và phép chia, ta thấy ngày rằng, để giải bài toán này, ta có thể tính được từ dưới lên, bằng cách thay phép cộng bằng phép trừ và ngược lại, thay phép nhân bằng phép chia và ngược lại nhu ghi ở trên (hình 18). Bài này còn có thể bằng phương pháp tính ngược từ cuối.
Giải
Ta có:
11 x 8 = 88 88 + 136 = 224
224 : 7 = 32 32 – 12 = 20.
Vậy bạn Kiên dã nghĩ ra số 20.
BÀI TẬP
94. Ở cửa hàng bán dầu hỏa có một bình 7l và một bình 5l. Hỏi làm thế nào đong được 4l từ thùng dầu để bán cho khách hàng.
95. Đội tuyển trường Kim Đồng đã đấu ba trận bóng bàn. Sau ba trận đấu kết quả như sau :
 Trong trận đấu đầu tiên, đội tuyển đã thắng một số ván bằng một nửa số ván thắng ở trận thứ hai và cộng thêm 1. Trong trận thứ hai, đội lại thắng một số ván bằng một nửa số ván thắng ở trận thứ ba cộng thêm 1. Ở trận thứ ba, đội lại thắng một số ván bằng nửa số ván thắng ở trận thứ nhất cộng thêm 1. Hỏi trong cả ba trận đấu, đội đã thắng mấy ván?
96. Nhân ngày rằm Trung thu, bà chia cho ba cháu Dương, Kiên, Hiền mỗi cháu một thứ đồ chơi mà mình thích : đèn ông sao, bóng bay và trống. Dương không thích chơi trống còn Kiên không nhận bóng bay và cũng không thích trống. Hoit bà chia cho ai những gì?
97. Trong kì thi học sinh giỏi bốn bạn Giang, Dương, Linh, Thúy đạt bốn giải nhất, nhì, ba, tư. Biết rằng :
a. Linh không được giải nhất nhưng cũng không được giải cuối cùng
b. Dương đạt giải nhì
c. Giang không đạt giải tư
Hỏi người nào đạt giải mấy ?
98. Trong cuộc chạy thi Ngày hội khỏe Phù Đổng bốn bạn An, Bình, Cường, Dũng đạt bốn giải đầu, mỗi người một giải. Một người hỏi :” Bạn đạt giải mấy?” thì bốn bạn trả lời như sau:
An :” Tôi giải nhì còn Bình giải nhất”
Bình :” Tôi cũng giải nhì , Dũng giải ba “
Cường :” Chính tôi mới giải nhì ,còn Dũng giải tư đấy “
Dũng :” Ba bạn đều thích nói đùa, nhưng trong mỗi câu trả lời đều có một phần đúng, một phần sai”.
Dựa vào câu nói thành thật của Dũng, hãy xem xét xem ai đạt giải nào ?
99. Ba bạn Dương, Nhung, Linh mặc ba áo màu trắng, xanh, hồng và có ba cặp tóc cũng màu ấy. Biết rằng chỉ Dương là có màu áo và màu cặp tóc trùng nhau , còn áo và cặp tóc của Nhung đều không phải là màu trắng, Linh cặp tóc màu xanh. Hãy xác định màu áo và màu cặp tóc mỗi bạn.
100. Nhân ngày 20-11 ba cô giáo Châu, Tỵ và Ninh ở ba trường Đoàn Kết, Nguyễn Trãi , Thăng Long dạy mẫu ba giờ Toán, Tiếng Việt và Lịch Sử . Biết rằng :
a.Cô Châu không dạy ở trường Đoàn Kết , còn cô Ninh không dạy ở trường Nguyễn Trãi.
b.Cô giáo ở trường Đoàn Kết không dạy Lịch Sử.
c.Cô giáo ở trường Nguyễn Trãi dạy Toán.
d.Cô Tỵ không dạy Tiếng Việt.
Hỏi mỗi cô giáo ở trường nào và dạy môn gì ?