Các phương pháp giải toán Tiểu học - Phương pháp giả thiết tạm (Có đáp án)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
§5. Phương pháp giả thiết tạm
 Phương pháp này thường dùng đối với bài toán, trong đó đề cập đến hai đối
tượng ( người vật hay sự việc ) có những tính chất biểu thị bằng hai số lượng
chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ
có hai năng suất khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau 
 Ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài
toán, một khả năng không có thật thậm chí một tình huống vô lí ( chính vì vậy
mà phương pháp này đòi hỏi người giải toán sức tưởng tượng phong phú, óc suy
luận linh hoạt ) Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời, nhưng phải tìm được giả
thiết ấy, nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặc
dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm.
 Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm đều có thể giải bằng
phương pháp khác. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết
tạm thường gọn gàng, dễ hiểu, mang tính chất “độc đáo”.
 Ví dụ 1.
“Vừa gà vừa chó,
 Ba mươi sáu con,
Bó lại cho tròn,
 Một trăm chân chẵn”
Tính số gà và số chó.
Phân tích. Đây là bài toán cổ quen thuộc ở nhiều nước. Rõ rằng là 36 con không
thể là toàn chó cả hay toàn là gà cả. Bởi vì, nếu như thế, thì số chân sẽ là 4 x 36
= 144 (chân) hoặc 2 x 36 = 72 (chân), đều không phù hợp với giả thiết bài toán.
Nhưng ta lại giả thiết rằng có trường hợp ấy, để từ chênh lệch về số chân của
toàn bộ tổng số các con vật với sự chênh lệch về số chân của từng con chó với
gà, ta suy ra số con vật mỗi loại
Giải
Cách 1.
Giả sử 36 con toàn là gà cả. Như vậy, số chân chỉ có là :
2 x 36 = 72 (chân)
Số chân bị hụt đi là :
100 – 72 = 28 (chân)
Sở dĩ bị hụt như vậy là do mỗi con chó không được tính đủ 4 chân mà bị tính hụt đi :
4 – 2 = 2 (chân)
Vậy số chó là :
28 : 2 = 14 (con)
Số gà là :
36 – 14 = 22 (con)
Cách 2. 
Giả sử rằng 36 con đều là chó cả. Như vậy, tổng số chân là :
4 x 36 = 144 (chân)
Số chân dôi ra là :
144 – 100 = 44 (chân)
Sở dĩ như vậy là do số chân của mỗi con gà được tính dôi ra là :
4 – 2 = 2 (chân)
Vậy số gà là :
44 : 2 = 22 (con)
Số chó là :
36 – 22 = 14 (con)
Cách 3.
Ta giả thiết rằng mỗi con vật đều bị “chặt đi” một nửa số chân ( rõ ràng, khả
năng này rất vô lí !). Như vậy, mỗi con chó chỉ còn 2 chân và mỗi con gà chỉ
còn một chân. Tổng số chân chỉ còn một nửa, tức là :
100 : 2 = 50 (chân)
 Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải “co” một chân lên, để mỗi con vật
đều chỉ có một chân, 36con vật đều chỉ có số chân, 36 con vật có 36 chân. Như
vậy, số chân chó phải “co” lên là :
50 – 36 = 14 (chân)
Vì mỗi con chó tương ứng với một chân “co”, nên suy ra có 14 con chó. Vậy số gà là:
36 – 14 = 22 (con)
Đáp số: 22 con gà ; 14 con chó
Ví dụ 2. Hàng ngày cứ đúng giờ đã định, Hòa đi với vận tốc không đổi để đến
trường học kịp giờ truy bài. Một hôm, vẫn đúng giờ ấy, nhưng Hòa đi với vận 
ốc 50m/ phút nên đến trường chậm giờ truy bài mất 2 phút. Hòa tính rằng nếu đi
được 60m mỗi phút thì lại đến sớm được 1 phút. Tính thời gian cần thiết mà
thường ngày Hòa vẫn đi từ nhà đến trường và khoảng cách giữa nhà và trường/
Phân tích.
 Hòa đi từ nhà ( điểm A ) theo vận tốc 50m/phút thì, đi hết thời gian cần thiết,
Hòa mới đi được đến được B chứ chưa đi được đến trường ở D, từ B đến D Hòa
còn phải đi hết 2 phút nữa ( hình 15 ). Nếu Hòa đi từ A với vận tốc 60m/ phút thì
Hòa đến D sớm được hơn 1 phút, nghĩa là nếu giả sử Hòa không dừng lại tại
trường ở D mà cứ tiếp tục đi cho hết thời gian cần thiết thì Hòa sẽ đến được 
điểm C mà đi từ D đến C mất 1 phút.
 Bây giờ, ta tưởng tượng có một tình huống “kì lạ” như sau. Giả sử có hai bạn 
Hòa như nhau, lúc đầu cùng đi từ A.Trong cùng một thời gian cần thiết bạn Hòa
này đi với vận tốc 50m/ phút nên chỉ đi đến được B, còn bạn Hòa kia đi với vận
tốc 60m/ phút nên đến được C. Ta lại giả thiết rằng hai bạn Hòa này cùng “đằng
sau quay”, bạn Hòa này bắt đầu đi từ B, đồng thời bạn Hòa kia bắt đầu đi từ C
để đuổi kịp bạn Hòa này cho đến khi hai người đi cùng một thời gian cần thiết
và gặp nhau tại A.
 Như vậy, ta đã đưa bài toán về dạng chuyển động đều cùng chiều với quãng
đường từ C đến B và với vận hai vận tốc 50m/ phút và 60m/ phút
Giải
 Giả sử rằng, khi đi với vận tốc 60m/ phút, Hòa đến trường sớm hơn 1 phút,
nhưng không dừng lại ở trường mà cứ tiếp tục đi cho đến hết thời gian cần thiết
đã định thì Hòa đi quá trường là :
60 x 1 = 60 (m)
Khi đi với vận tốc 50m/ phút thì Hòa bị chậm mất 2 phút tức là còn cách trường:
50 x 2 = 100 (m)
Như vậy, quãng đường chênh lệch nhau là :
60 + 100 = 160 (m)
Vận tốc hai lần đi chênh lệch nhau là :
60 – 50 = 10 (m/ phút)
Vậy thời gian cần thiết để Hòa đi từ nhà đến trường là :
60 : 10 = 16 (phút)
Khoảng cách từ nhà đến trường là :
50 x ( 16 + 2 ) = 900 (m)
 Ví dụ 3. Trong sân trường hình chữ nhật, nhà trường xây một sân khấu hình
vuông có một cạnh trùng với chiều rộng của sân, cạnh đối diện cách chiều rộng
còn lại là 72m, và hai cạnh còn lại của sân khấu cách đều hai chiều dài mỗi bên
11m. Vì thế, diện tích còn lại là 2336m2. Tính cạnh của sân khấu.
Phân tích. Theo giả thiết ( hình 16 ) ta có phần sân trường còn lại gồm 5 hình
chữ nhật a, b, c, d, e, trong đó diện tích hai hình a và c là :
72 x 11 x 2 = 1584 (m2)
Ba hình chũ nhật b, d, e, có chung một chiều là cạnh sân khấu, còn tổng số ba
chiều là :
72 + 11 + 11 = 94 (m)
Ta coi như hình chữ nhật này ghép liên tiếp với nhau thành một hình chữ nhật có
chiều rộng là cạnh sân khấu và chiều dài là 94m.
Biết diện tích của ba hình này, chính là:
2336 – 1584 = 752 (m2)
Ta tính được cạnh sân khấu :
752 : 94 = 8 (m)
Ta có thể phân tích cách khác như sau :
Gọi cạnh sân khấu là x thì phần còn lại gồm ba hình chữ nhật ( hình 17 ); một
hình chữ nhật lớn gồm a, b, c có hai chiều là 72 và 11 + 11 + x = 22 + x ; hai
hình chữ nhật nhỏ bằng nhau d và e có hai chiều là 11 và x. Theo bài phần diện
tích còn lại là :
Hay :
72 x ( 22 + x ) + 2 x 11 x x = 2336
72 x 22 + 72 x x + 22 x x =2336
72 x 22 + ( 72 + 22 ) x x = 2336
 Từ đây tính được x và cũng từ biểu thức này gợi cho ta một cách giải bằng giả
thiết tạm như sau .
 Gia thiết rằng sân khâu được chuyển vào một góc sân, sao cho một cạnh trùng
với chiều dài như hình 17. Như vậy, phần diện tích sân trường còn lại vẫn không
thay đổi. Phần này gồm hình chữ nhật có hai chiều dài là 72 và 2 x 11 = 22, với
hình chữ nhật b, c có chung chiều là cạnh sân khấu.Từ đó, có thể giả thiết ghép
hai hình chữ nhật này làm một, tính được diện tích của nó và suy ra cạnh sân
khấu.
Giải
 Giả sử ta chuyển sân khấu vào một góc sân trường sao cho hai cạnh của nó
trùng với hai cạnh sân trường ( hình 17 )
Phần còn lại gồm ba hình chữ nhật a, b, c
Diện tích hình a là :
72 x 22 = 1584 (m2)
Diện tích hai hình b và c là : 
2336 – 1584 = 752 (m2)
Hai hình b và c có một chiều bằng nhau và bằng cạnh sân khấu, có hai chiều kia
bằng :
72 + 22 = 94 (m)
Vậy cạnh sân khấu là:
752 : 94 = 8 (m)
Bài tập
41. Lớp có 32 bạn tham gia chuyển gạch vụn làm kế hoạch nhỏ bằng xe cải tiến
và quang gánh. Xe cải tiến cần bốn người một xe, còn quang gánh thì hai bạn
khiêng một chiếc. Vừa xe cải tiến vừa quang gánh có tất cả 13 dụng cụ. Hỏi có
mấy xe cải tiến và mấy chiếc quang gánh ?
42. Rạp Kim Đồng một buổi chiếu phim bán được 500 vé gồm hai loại 2000đ và
3000đ. Số tiền thu được là 1120000đ. Hỏi số vé bán mỗi loại là bao tiền ?
43. (Toán cổ ) 
Quít ngon mỗi quả chia ba,
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười.
Mỗi người một miếng, trăm người
Có mười bảy quả không nhiều đủ chia
Hỏi có bao nhiêu cam, bao nhiêu quít ?
44. Linh mua 4 tập giấy và 3 quyển vở hết 5400 đồng. Dương mua 7 tập giấy và
6 quyển vở cùng loại hết 9900 đồng. Tính giá tiền một tập giấy và một quyển vở
45. Một vườn hoa hình chữ nhật chiều dài 60m, chiều rộng 30m. Người ta làm 4
luống hoa bằng nhau, hình chữ nhật. Xung quanh các luồng hoa đều có đường đi
rộng 3m. Tính diện tích các lối đi trong vườn hoa.
46. Ở giữa một miếng đất hình vuông người ta đào một cái ao thả cá cũng hình
vuông. Phần còn lại rộng 2400m2 dùng để trồng trọt. Tổng chu vi mảnh đất và
chu vi ao cá 240m.Tính cạnh mảnh đất và cạnh ao cá.
47. Một quầy bách hóa nhận về một số khăn mặt. Chị bán hàng lấy 1/7 số khăn
đó để bày bán, số còn lại cất vào tủ. Sau khi bán được 2 chiếc thì chị nhận thấy
số khăn mặt trong tủ lúc này gấp 10 lần số còn lại đang bày. Hỏi chị bán hàng đã
nhận về bao nhiêu khăn mặt ?
48. Lúc 8 giờ 45 phút một đơn vị bộ đội hành quân từ doanh trại đến điểm hẹn
dài 24km với vận tốc 4km một giờ. Ngày hôm sau, lúc 10 giờ 15 phút, đơn vị đó
theo đường cũ từ điểm hẹn về doanh trại với vận tốc 5km một giờ. Cả đi lẫn về
đơn vị đều phải đi qua một trạm gác vào cùng một thời điểm trong ngày. Hãy
tính thời điểm đó.
49.Cùng một lúc một ô tô đi từ A và một xe máy đi từ B ngược chiều nhau để
đến địa điểm C ở giữa AB, C cách A 300km và cách B 260km. Vận tốc của ô tô
là 60km/ giờ, của xe máy là 35km/ giờ. Hỏi sau bao lâu thì :
a)Ô tô và xe máy cùng cách C một khoảng như nhau ?
b)Khoảng cách từ xe máy đến C xa gấp đôi khoảng cách từ ô tô đến C ?
50. Hòa được bố đèo bằng xe máy đến thị xã để thi học sinh giỏi với vận tốc
40km/ giờ. Một giờ rưỡi sau, anh của Hòa đi xe đạp đến thị xã với vận tốc
16km/ giờ, anh của Hòa đến thị xã sau Hòa 3 giờ. Hỏi Hòa đi từ nhà đến thị xã
mất bao nhiêu lâu ?
51. Khối Bốn của trường có ba lớp cùng nhặt giấy vụn làm kế hoạch nhỏ xây
dựng di tích lịch sự Kim Đồng tổng cộng được 94kg. Kết quả lớp 4A nhặt được
nhiều hơn lớp 4B là 8kg, lớp 4C nhiều hơn lớp 4A là 6kg. Hỏi mỗi lớp nhặ được
bao nhiêu kilôgam giấy vụn ?